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icon6 Stochastik – Beispielaufgaben und Lösungswege

Um Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse zu bestimmen, muß man häufig Verteilungen benutzen. Anhand von drei Beispielen möchten wir Ihnen die Verwendung der zumeist verwendeten deutlich machen: Die Binomial-, die hypergeometrische und die Normalverteilung.

Beispielaufgabe S1 zeigt

  • die Binomialverteilung

Beispielaufgabe S2 zeigt

  • die hypergeometrische Verteilung

Beispielaufgabe S3 zeigt

  • die Normalverteilung

S1. Aufgabe

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen mit einem idealen Würfel höchstens 3 Mal die Augenzahl 1 zu erhalten?

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image002 Stochastik. Die gesuchte Verteilung ist offensichtlich die Binomialverteilung, denn als Urnenmodell ist das folgende passend.

Urnenmodell: Aus einer Urne mit 6 Kugeln (die verschiedenen Augenzahlen des Würfels), darunter 1 rote (die Augenzahl 1), werden nacheinander mit Zurücklegen n=0,1,2,3 Kugeln entnommen (es soll höchstens 3 Mal eine 1 geworfen werden, d.h. es kann auch kein Mal eine 1 geworfen werden).

Gesucht ist also

clip_image003

Wählen Sie also clip_image004 aus und berechnen Sie P(X=0). Setzen Sie dafür die Variablen x=0, u=6, v=1 und w=10 ein und drücken Sie clip_image043. Sie erhalten dann für

P(X=0)clip_image0170.161505582889846

Verfahren Sie analog weiter mit P(X=1) , P(X=2) , P(X=3) und Sie erhalten

P(X=1)clip_image0170.323011165779691

P(X=2)clip_image0170.290710049201722

P(X=3)clip_image0170.155045359574252

Addieren Sie diese Werte mit dem clip_image001 Rechner, so erhalten Sie als Wert clip_image0170.930272157445511 und Sie können die Frage beantworten.

Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen mit einem idealen Würfel höchstens 3 Mal die Augenzahl 1 zu erhalten ist clip_image01793 Prozent.

In diesem Zusammenhang ist der Erwartungswert E(X)=1.3clip_image007 interessant. Dieser besagt, dass man erwarten kann, bei 10 Würfen mit einem idealen Würfel wenigsten 1 Mal als Augenzahl eine 1 zu erhalten (eigentlich 1.3clip_image007 Mal, ist aber nicht besonders anschaulich).

S2. Aufgabe

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie im Lotto (ohne Zusatzzahl) 6 Richtige haben?

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image002 Stochastik. Die gesuchte Verteilung ist offensichtlich die hypergeometrische, denn als Urnenmodell ist das folgende passend.

Urnenmodell: Aus einer Urne mit 49 Kugeln (die numerierten Lottokugeln), darunter 6 rote (Ihre getippten Zahlen), werden nacheinander mit Zurücklegen 6 Kugeln entnommen.

Wählen Sie also clip_image008 aus und berechnen Sie P(X=6). Setzen Sie dafür die Variablen x=6, u=49, v=6 und w=6 ein und drücken Sie clip_image043. Sie erhalten dann für

P(X=6)clip_image0177.1511238e-08 (=0.000000071511238)

und können die Frage beantworten.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie im Lotto (ohne Zusatzzahl) 6 Richtige haben ist clip_image0170.00000715 Prozent (d.h., wenn Sie 14 Millionen verschiedene Tippreihen für ein Spiel ausgefüllt haben, sollte eine richtige darunter sein).

S3. Aufgabe

Sei die Zufallsvariable X normalverteilt mit dem Erwartungswert m=1.2 und der Varianz s²=clip_image009. Berechnen Sie: P(X )clip_image010clip_image011.

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image002 Stochastik. Wählen Sie die Normalverteilung über clip_image012 aus und berechnen Sie P(X )clip_image010clip_image011. Setzen Sie dafür die Variablen x=sqrt(2), y=1.2 und z=1/sqrt(2) ein und drücken Sie clip_image043. Sie erhalten dann für

P(Xclip_image010clip_image011)clip_image0170.619031.

Möchten Sie sich aus Interesse die Gaußsche Glockenkurve dieser Normalverteilung ansehen, so wählen Sie clip_image014 zum Kopieren der Verteilung und starten Sie clip_image003 Funktionsdiskussion. Drücken Sie dann das Schaltfeld clip_image004 und danach clip_image016 zum Einfügen der Verteilungsfunktion. Nachdem Sie clip_image014 gedrückt haben, sehen Sie in dem Zeichnungsfenster die Funktion (der Mittelpunkt der Glockenkurve ist bei 1.2 also bei dem Erwartungswert m).

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