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icon3Lineare Gleichungssysteme – Beispielaufgaben und Lösungswege

Mit diesem Teilprogramm können Sie die Lösung von linearen Gleichungssystemen bestimmen. Die linearen Gleichungssysteme besitzen der Einfachheit halber immer eine gleiche Anzahl an Variablen und linearen Gleichungen.

Sind in Ihrer zu lösenden Aufgabe diese nicht gleich, so besetzen Sie die übrigen Elemente mit 0.

Beispielaufgabe LG1 zeigt

  • die Lösung eines linearen Gleichungssystems

Beispielaufgabe LG2 und LG3 zeigen

  • die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

Beispielaufgabe LG4 zeigt

  • ob eine Lösung eines linearen Gleichungssystems existiert

LG1. Aufgabe

Bestimmen Sie die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems. clip_image002

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image003 Lineare Gleichungssysteme und geben Sie als Unbekanntenanzahl eine 4 ein. Drücken Sie dann die Schaltfläche clip_image004, um die Eingabe zu übernehmen. In den folgenden Dialog geben Sie das lineare Gleichungssystem ein und drücken hier auch auf clip_image004.

Sie sehen zunächst das Ausgangssystem. Um die Lösung zu erhalten, drücken Sie auf die Schaltfläche clip_image005. Nachfolgend können Sie also schon die Aufgabe beantworten.

Die einzige Lösung ist x1=2, x2=1, x3=-1 und x4=3.

LG2. Aufgabe

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems.

clip_image006

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image003 Lineare Gleichungssysteme und geben Sie als Unbekanntenanzahl eine 4 ein. Drücken Sie dann die Schaltfläche clip_image004, um die Eingabe zu übernehmen. In den folgenden Dialog geben Sie das lineare Gleichungssystem ein und drücken hier auch auf clip_image004.

Sie sehen zunächst das Ausgangssystem. Um das Lösungssystem zu erhalten, drücken Sie auf die Schaltfläche clip_image005. Nachfolgend können Sie also schon fast die Aufgabe beantworten. Und zwar ist das Lösungssystem:

clip_image007
Demnach kann x4 nun frei gewählt werden.

Sei nun x4 = l (l ist reeller freier Parameter)

so ist x3= -1 -2x4 = -1 -2l
so ist x2= 2 +1x4 = 2 +1l
und x1= -6 -7x4 = -6 -7l

Also ist insgesamt die Lösungsmenge:

clip_image008

LG3. Aufgabe

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems.

clip_image009

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image003 Lineare Gleichungssysteme und geben Sie als Unbekanntenanzahl eine 4 ein. Drücken Sie dann die Schaltfläche clip_image004, um die Eingabe zu übernehmen. In den folgenden Dialog geben Sie das lineare Gleichungssystem ein und setzen Sie die übrigen Elemente auf 0. Drücken hier auch auf clip_image004.

Sie sehen zunächst das Ausgangssystem. Um das Lösungssystem zu erhalten, drücken Sie auf die Schaltfläche clip_image005. Nachfolgend können Sie also schon fast die Aufgabe beantworten. Und zwar ist das Lösungssystem:

clip_image010

Demnach können x3 und x4 nun frei gewählt werden.

Sei nun x3 = l (l ist reeller freier Parameter)
und x4 = m (m ist reeller freier Parameter)

so ist x2= 2 -1.clip_image011x3 -x4 = 2 -1.clip_image011l -m
und x1= 1 -0.clip_image011x3 -2x4 = 1 -0.clip_image011l -2m

Also ist insgesamt die Lösungsmenge:

clip_image012

LG4. Aufgabe

Existiert eine Lösung zum folgenden linearen Gleichungssystem?

clip_image013

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image003 Lineare Gleichungssysteme und geben Sie als Unbekanntenanzahl eine 4 ein (damit ein lineares Gleichungssystem mit 4 Zeilen und 4 Unbekannten erzeugt wird). Drücken Sie dann die Schaltfläche clip_image004, um die Eingabe zu übernehmen. In den folgenden Dialog geben Sie das lineare Gleichungssystem ein und setzen Sie die übrigen Elemente auf 0. Drücken hier auch auf clip_image004.

Sie sehen zunächst das Ausgangssystem. Um das Lösungssystem zu erhalten, drücken Sie auf die Schaltfläche clip_image005. Die Antwort können Sie sofort ablesen. Und zwar ist das Lösungssystem:

clip_image014

Demnach existiert keine Lösung denn die letzte Zeile des Lösungssystems beinhaltet die falsche Aussage 0=11.

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