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icon2 Funktionsdiskussion – Beispielaufgaben und Lösungswege

Die Funktionsdiskussion ist die wohl interessanteste Anwendung. Hier kann man sich eine zwei- oder dreidimensionale Funktion ansehen und die Funktionsauswertung einer zweidimensionalen Funktion durchführen.

Beispielaufgabe FD1 zeigt

  1. die Bestimmung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
  2. die Bestimmung des Integrals über einem Intervall.
  3. die Bestimmung der 1. Ableitung.

Beispielaufgabe FD2 zeigt

  • die Lösung einer Gleichung

Beispielaufgabe FD3 zeigt

  • die Lösung einer Ungleichung

Beispielaufgabe FD4 zeigt

  • die Lösung eines Limes

Beispielaufgabe FD5 zeigt

  • die Untersuchung einer dreidimensionalen Funktion

Zudem finden Sie am Ende der Seite allgemeine Anmerkungen und Tipps zur Funktionsdiskussion.

FD1. Aufgabe [Video]

Bestimmen Sie zu der Funktion

clip_image002

die folgenden Werte:

  1. die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
  2. das Integral über dem Intervall [x1,x2]=[-2,5].
  3. die 1. Ableitung.

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image003 Funktionsdiskussion und drücken Sie dann das Schaltfeld clip_image004. Geben Sie die obige Funktion ein:

f(x)= sqrt( -x*(x-3)*(x^2-(10/3)*x+4) )

Markieren Sie dann die Felder clip_image006, clip_image007 und clip_image008. Wählen Sie als Bereich das Intervall [x1,x2]=[-2,5] und [h1,h2]=[-2,5], indem Sie diesen Bereich in die entsprechenden Felder eingeben oder die Felder clip_image009clip_image010, clip_image011 und clip_image012 clip_image013 zur Bildsteuerung verwenden, bis der Bereich überlappt wird. Drücken Sie dann clip_image014, so dass die Skalierung sowie der Abstand für die Funktionsdiskussion und die Genauigkeit der Integralberechnung zur Funktion passend bestimmt werden.

Sie erhalten auch eine ungefähre Zeit für die auszuführenden Berechnungen. Bestätigen Sie dann mit clip_image015 die Eingaben und drücken Sie im darauf folgenden Berechnungsdialog die Schaltfläche clip_image016. Nach dem Ende der Berechnungen drücken Sie clip_image015 und lesen Sie einfach die ermittelten Werte ab.

1. die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte:

Die Nullstellen sind x1=0 und x2=3.
Ein Hochpunkt ist bei xhp=0.75 und ein Sattelpunkt bei xsp=2.
Die Wendestellen sind bei xrlclip_image0171.188599882 (rechts/ links Wendestelle) und xlr=2 (links/ rechts Wendestelle).

2. das Integral über dem Intervall [x1,x2]=[-2,5]:

Das im Beispielfall bei einer Genauigkeit von ungefähr 1981.118 ermittelte Integral ist Iclip_image0174.697493625.

3. die 1. Ableitung:

Die 1. Ableitung ist

f'(x)= -(((((x-3)+x)*((x^2-((10/3)*x))+4))+(((x-3)*x)*((2*x)-(10/3))))/(2*sqrt(-(((x^2-((10/3)*x))+4)*((x-3)*x)))))

also
clip_image018

FD2. Aufgabe

Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung clip_image019

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image003 Funktionsdiskussion und drücken Sie dann das Schaltfeld clip_image004. Die obige Gleichung entspricht

clip_image020

Demnach werden die Nullstellen von der Funktion

clip_image021

gesucht. Also geben Sie zur Lösung die Funktion f(x) ein:

f(x)= exp(x^2+x)/exp(2) -1

Markieren Sie dann die Felder clip_image006 und clip_image007. Wählen Sie als Bereich das Intervall groß genug, z.B. [x1,x2]=[-100,100] und [h1,h2]=[-100,100]. Drücken Sie dann clip_image014, so dass die Skalierung sowie der Abstand für die Funktionsdiskussion passend bestimmt werden. Bestätigen Sie dann mit clip_image015 die Eingaben und drücken Sie im darauf folgenden Berechnungsdialog die Schaltfläche clip_image016. Nach dem Ende der Berechnungen drücken Sie clip_image015 und lesen Sie einfach die ermittelten Werte ab.

Die Lösung der Gleichung 

Die Nullstellen sind x1=-2 und x2=1 und dies sind auch die Lösungen der Gleichung.

FD3. Aufgabe

Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Ungleichung

clip_image022

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image003 Funktionsdiskussion und drücken Sie dann das Schaltfeld clip_image004. Die obige Ungleichung entspricht

clip_image023

Demnach werden die Stellen gesucht mit

clip_image024

gesucht. Also geben Sie zur Lösung die Funktion f(x) ein:

f(x)= (x^2-11*x)/(x+16) -abs(x-1)

Markieren Sie dann die Felder clip_image006 und clip_image007. Wählen Sie als Bereich das Intervall groß genug, z.B. [x1,x2]=[-100,100] und [h1,h2]=[-100,100]. Drücken Sie dann clip_image014, so dass die Skalierung sowie der Abstand für die Funktionsdiskussion passend bestimmt werden.

Wenn Sie clip_image025 wählen, wird Ihnen auffallen, dass eine mögliche Nullstelle im Bereich -16 erst jetzt angezeigt wird. In der Umgebung dieses Punktes ist die Steigung so stark, dass der h-Sprung nicht angezeigt werden konnte. Dies bedeutet, dass eventuell die Funktionsdiskussion nicht genau entscheiden kann, ob in dem Punkt tatsächlich eine Nullstelle ist. Wählen Sie aus diesem Grund clip_image026 an, wodurch alle Kandidaten für Nullstellen (auch der Ableitungen) ausgegeben werden.

Bestätigen Sie dann mit clip_image015 die Eingaben und drücken Sie im darauf folgenden Berechnungsdialog die Schaltfläche clip_image016. Nach dem Ende der Berechnungen drücken Sie clip_image015 und lesen Sie einfach die ermittelten Werte ab.

Die Lösung der Ungleichung

Die ermittelten Nullstellen sind x1=-16 und x2=-4. Da die im Punkt -16 erzwungen wurde, müssen Sie diesen noch näher untersuchen. Es ergibt sich dann, dass -16 nicht eingesetzt werden kann, da der Limes

clip_image028clip_image029

nicht definiert ist. Sie sehen in der Zeichnung der Funktion, den Bereich über 0, was die Bedingung war.

Demnach ist die Lösung: L=]-16,-4[ (exklusive -16 und -4, da die Funktion im Punkt -16 nicht definiert und -4 gleich 0 ist).

Nun noch eine kleine Aufgabe, die zeigt, wie man anhand einer Zeichnung sein errechnetes Ergebnis überprüfen kann oder überhaupt erst einmal auf die Idee für eine Lösung kommt.

FD4. Aufgabe

Bestimmen Sie den Limes

clip_image030clip_image031

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image003 Funktionsdiskussion und drücken Sie dann das Schaltfeld clip_image004. Die obige Funktion ist

f(x)= (exp(x-1)+exp(1-x)-2) / ((x-1)-ln(x))

Sie sehen an der Zeichnung sofort, dass im Punkt 1 der Wert gleich 2 ist.

Also folgt die Behauptung, die erst noch bewiesen werden muss:

clip_image030clip_image033

FD5. Aufgabe

Untersuchen Sie, ob die Funktion

clip_image034

im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt und zeichnen Sie diese in der Umgebung des Nullpunktes.

Arbeitsschritte zur Lösung:

Starten Sie clip_image003 Funktionsdiskussion und drücken Sie dann das Schaltfeld clip_image004. Die obige Funktion ist

f(x,y)= –x^2+y^2

und verwenden Sie die Schaltflächen zur Zeichnungsänderung, um einen guten Blick auf den Nullpunkt zu haben. Auch empfiehlt es sich für die Zeichnung clip_image025 und clip_image038 anzuwählen. Bestätigen Sie dann mit clip_image015 die Eingaben und drücken Sie im Zeichnungsfenster die Schaltfläche clip_image039 zur Positionsabfrage. In dem darauf folgenden Dialog können nun Positionen näher untersucht werden. Geben Sie als x- und y- Wert jeweils eine 0 ein.

Bestimmen Sie nun den Gradienten

clip_image040

im Punkt (0,0). Wählen Sie dazu clip_image042 für die 1. Richtungsableitung nach x im Punkt (0,0) an. Drücken Sie dann die Schaltfläche clip_image043 und Sie erhalten

clip_image044

Wählen Sie nun clip_image046 für die 1. Richtungsableitung nach y im Punkt (0,0) an. Drücken Sie die Schaltfläche clip_image043 und Sie erhalten

clip_image047

Also insgesamt:

clip_image048

Demnach könnte im Nullpunkt ein lokales Extremum liegen.

Bestimmen Sie nun die Hessesche Matrix

clip_image049

im Punkt (0,0). Wählen Sie dazu clip_image052 an für die 1. Richtungsableitung nach x und die 2. Richtungsableitung nach y im Punkt (0,0). Drücken Sie dann die Schaltfläche clip_image043 und Sie erhalten

clip_image053

Verfahren Sie analog mit den weiteren Ableitungen und Sie erhalten insgesamt:

clip_image054

Diese Matrix ist offensichtlich indefinit denn Sie besitzt einen positiven und negativen Eigenwert, also folgt insgesamt, dass im Nullpunkt kein lokales Extremum liegt. Der Graph bildet nämlich nach der Zeichnung eine sogenannte Sattelfläche, wie im Bild zu sehen ist.

Allgemeine Anmerkungen und Tipps zur Funktionsdiskussion

Bitte beachten Sie, dass sowohl die Funktionsdiskussion als auch die Integralberechnung nur über dem gewählten [x1,x2]- Bereich durchgeführt wird. Falls kein x-Intervall in einer Funktionsdiskussionsaufgabe angegeben ist, so sollte dieses zur Bestimmung der Nullstellen, Extrema und Wendepunkte angemessen groß gewählt werden, z.B. [x1,x2]=[-100,100] und [h1,h2]=[-100,100]. Die benötigten Intervallgrenzen können Sie am einfachsten ersehen, indem Sie die Ableitungen f ’(x) und f ’’(x) zeichnen lassen.

Mit der Genauigkeit der Integralberechnung steigt die Genauigkeit des Ergebnisses. D.h. im obigen Beispiel FD1. wurde bei einer Genauigkeit von 1981.118 als Integral Iclip_image0174.697493625 ermittelt. Bei einer Genauigkeit von 36090.03 würde Iclip_image0174.697497972 ermittelt werden, wobei das exakte Ergebnis bei Iclip_image0174.697498056 liegt. Also im 1. Fall ist das Ergebnis clip_image0170.000004431 und im 2. Fall nur clip_image0170.000000084 vom exakten Ergebnis entfernt.

Positionen können im Zeichnungsfenster der zwei- und dreidimensionalen Funktion über die Positionsabfrage einfach untersucht werden. Im Fenster der Funktion drücken Sie die Schaltfläche clip_image039, oder drücken Sie im Zeichnungsfenster die linke Maustaste. Die Position wird im zweidimensionalen direkt übernommen. Geben Sie in dem folgenden Eingabedialog die Ableitung an, die Sie in diesem Punkt interessiert, und drücken Sie dann das Schaltfläche clip_image043. In dem Eingabedialog können Sie natürlich auch noch andere Punkte untersuchen oder die Position korrigieren, indem Sie dafür nur die gewünschte x- Position im zweidimensionalen, bzw. x- und y- Position im dreidimensionalen eingeben. Auf diese Weise können Sie z.B. Polstellen (d.h. Unendlichkeitsstellen) untersuchen, oder die Steigung (d.h. die 1. Ableitung) in einem Punkt abfragen.

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